Градиент фильтрации: Тема 7. Закон ламинарной фильтрации. Гидравлический градиент. Коэффициент фильтрации. Начальный градиент в глинистых фунтах. Эффектное и нейтральное давления в грунтовой массе.

Содержание

8.Начальный градиент напора.

Многочисленные
опыты по фильтрации воды в песчаных
грунтах подтверждают полную справедливость
закона Дарси. Вместе с тем опыты с
пылевато-глинистыми грунтами показывают
систематическое отклонение от этого
закона.

Так,
в глинистых грунтах, особенно плотных,
при относительно небольших значениях
градиента напора фильтрации может не
возникать (начальный участок кривой).

Увеличение
градиента приводит к постепенному,
очень медленному развитию фильтрации.
Наконец, при некоторых значениях
гидравлического градиента
устанавливается постоянный режим
фильтрации. Во многих случаях исключают
из рассмотрения начальный криволинейный
участок и закон ламинарной фильтрации
для пылевато-глинистых грунтов принимают
в виде.

Понятие
начального градиента напора впервые
установлено опытами Б. Ф. Рельтова и С.
А. Роза и связывается обычно с проявлением
особых свойств воды в глинистых грунтах,
отмеченных в начале настоящего параграфа.
С. А. Роза показал, что для плотных
кембрийских глин начальный градиент
напора может достигать очень больших
значений, порядка 10…20.

При
действующем градиенте напора меньше
начального значения фильтрация в
водонасыщенном грунте практически не
возникает, а следовательно отсутствует
возможность уплотнения грунта.

При
расчетах осадок оснований мощность
зоны уплотнения иногда ограничивают
той глубиной, где выполняется условие

9.Эффективное и нейтральное давление в грунтовом массиве.

Механическая
модель (см. рис. 2.8) наглядно демонстрирует,
что в процессе уплотнения грунта в нем
одновременно действуют две системы
давлений: давление в скелете грунта,
называемое эффективным, и давление в
поровой воде, называемое нейтральным.
Эффективное давление характеризует
напряженное состояние скелета грунта.
Под этим давлением грунт уже деформировался,
т. е. уплотнился и упрочнился. Следовательно,
такое давление эффективно сказывается
на состоянии грунта. Нейтральное же
давление не влияет на напряженное
состояние скелета полностью водонасыщенного
грунта, т. е. оно нейтрально по отношению
к скелету грунта.
Обозначим эффективное
давление рd, а нейтральное давление pω.
Руководствуясь выражением (2.19) можно
записать
p = рd + pω

Отсюда
эффективное давление

рd
= p – pω

где
р — полное, или тотальное, давление,
действующее в грунте.

Эти
рассуждения справедливы только для
грунта, полностью насыщенного водой.
Если же поровая вода в грунте содержит
воздух в растворенном виде или в виде
пузырьков, то, как показали опыты,
проведенные в ЛИСИ, после приложения к
образцу грунта гидростатического
давления он получал деформации, так как
объем поровой воды, содержащей воздух,
уменьшился. В таком случае давление в
поровой воде нельзя считать нейтральным.
Однако и в этих опытах гидростатическое
давление передавалось частично на воду,
заключенную в порах, и частично на скелет
грунта.

10.Коэффициент бокового давления грунта. Модуль общей деформации.

Основными
характеристиками сжимаемости грунтов
являются модуль общей деформации Е или
коэффициент относительной сжимаемости
mv, коэффициент поперечного расширения
(коэффициент Пуассона) v и коэффициент
бокового давления ξ грунта.

Коэффициент
относительной сжимаемости

При
расчетах осадок уплотнения грунтов
вместо коэффициента сжимаемости
используется коэффициент относительной
сжимаемости (mv):

(5.10)

Коэффициент
бокового давления

Коэффициент
бокового давления (ξ). В состоянии покоя,
т.е. при отсутствии горизонтальных
перемещений, он представляет отношение
поперечных сжимающих напряжений к
продольным при ех=еу=0, т.е.

(5.17)

Коэффициент
поперечного расширения

Коэффициент
поперечного расширения (коэффициент
Пуассона) представляет отношение
поперечных деформаций — относительных
горизонтальных к относительным
вертикальным, т. е.

(5.20)

Модуль общей
деформации грунта

Модуль
общей деформации грунта используется
в качестве деформационного показателя
и характеризует упругие и остаточные
деформации. Модуль общей деформации
является важной характеристикой,
используемой для расчета оснований и
сооружений по деформациям. Модуль общей
деформации определяется в полевых и
лабораторных условиях. Наиболее
распространен способ проведения
компрессионных испытаний с последующей
их обработкой. В этом случае модуль
общей деформации

(5.24)

THE DETERMINATION OF THE VALUES OF CRITICAL PRESSURE GRADIENTS AND VELOCITY FILTERING OF NON-NEWTONIAN FLUID

Research article

Shevchenko O.N.

DOI:

https://doi.org/10.18454/IRJ.2016.45.168

Issue: № 3 (45), 2016

Published:

2016/03/15

Шевченко О.Н.

ORCID: 0000-0003-1805-5969, аспирант, Самарский государственный технический университет

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ КРИТИЧЕСКИХ ГРАДИЕНТОВ ДАВЛЕНИЯ И СКОРОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ

Аннотация

Закон Дарси выполняется в определенном диапазоне скоростей фильтрации. Существуют некоторые предельные градиенты давления, при которых меняется режим фильтрационного течения. Для определения нижней границы линейной фильтрации был рассмотрен общий случай фильтрации нелинейно-вязко пластичной жидкости. Произведен расчет для определения нижней границы применимости закона Дарси для месторождений, расположенных в пластах каменноугольного возраста.

Ключевые слова: предельный градиент давления, критическая скорость фильтрации.

Shevchenko O. N.

ORCID: 0000-0003-1805-5969, Postgraduate student, Samara State Technical University

THE DETERMINATION OF THE VALUES OF CRITICAL PRESSURE GRADIENTS AND VELOCITY FILTERING OF NON-NEWTONIAN FLUID

Abstract

Darcy’s law is in a certain range of filtration velocities. There are some marginal pressure gradients, in which change the mode of a filtration flow. A general case of nonlinear filtering-visco-plastic fluid was examined to determine the lower limit of linear filtering.

Keywords: maximum pressure gradient, the critical speed of filtration.

Известно, что закон Дарси выполняется при определенных условиях. Существует нижняя граница применимости закона Дарси, которая зависит от физико-химических особенностей взаимодействия жидкости с твердым скелетом, а так же от неньютоновских реологических свойств жидкости[1,2,4].

Классическим примером закона фильтрации для неньютоновской жидкости является закон фильтрации с предельным (начальным) градиентом [3]. Этот закон записывается для вязкопластичной жидкости Бингама-Шведова в виде [5,7]

(1)

Как следует из соотношений (1), фильтрационное течение возможно лишь при градиентах давления, превышающих некоторое значение Н, которое называется предельным градиентом. При меньших значениях градиента давления фильтрационное течение отсутствует. Величина начального градиента зависит от предельного напряжения сдвига жидкости τ₀ и эффективного диаметра капилляра d_эф.

Данный закон фильтрации более общего вида, чем соотношение (1) был рассмотрен в работе [5]. Графическое представление данного закона представлено на (рис.1).На данном графике выделяется три участка: ОА — область, где жидкость фильтруется с малой скоростью и наибольшей вязкостью из-за практически неразрушенной структуры, наблюдается явление ползучести; АБ — область, здесь скорость фильтрации резко увеличивается; БВ — область, где жидкость фильтруется с полностью разрушенной структурой и наименьшей вязкостью. Продолжение участка проходит через начало координат, что соответствует о ньютоновском характере течения. На данном графике выделяются два критических градиента давления: — градиент давления, определяющий границу прочности практически не разрушенной структуры; — градиент давления предельного разрушения структуры[12].

Рис. 1 — Зависимость скорости фильтрации от градиента давления для нелинейной вязкопластичной жидкости

Анализируя данную зависимость можно сделать следующий вывод: существует некоторое значение Н — предельный градиента давления, при котором происходит изменение законов фильтрации жидкости. Этот предельный градиент зависит от свойств фильтрующейся жидкости. Известно, что неньютоновское поведение нефти в основном связано с повышенным содержанием в ней высокомолекулярных компонентов — асфальтенов, смол и парафина. Соответственно, для расчета критических градиентов давления нам необходимо будет знать: А, С — массовое содержание в нефти асфальтенов и смол, % мас.; Г_а, Г_м, Г_э — содержание в нефти соответственно растворенного азота, метана и этана м³/м³; t — температуру нефти в пласте при которой происходит фильтрация, °С, kн — нефтепроницаемость коллектора, мкм². Для расчета критических градиентов давления, воспользуемся эмпирическими зависимостями представленными для нефтей карбона месторождений Татарии, так как в основном большинство залежей располагается именно в пластах каменноугольного возраста [9,7,10,11].

Таблица 1 — Эмпирические зависимости для нефтей карбона месторождений Татарии

Произведем расчет особенностей фильтрации для двух нефтей. Залежь Доброго месторождения Волгоградской области расположена в пределах тиманского возраста, а так же для залежи Авиловского месторождения.

Таблица 2- Параметры месторождений

Результаты расчетов сведем в таблицу 3.

Таблица 3 — Результаты расчетов

Соответственно нам известен предельный градиент давления и градиент предельного разрушения структуры. Для залежей тиманского горизонта Доброго месторождения и для Авиловского месторождения, сведем все основные данные в таблицу 4.

Таблица 4 – Основные данные для расчета

Таблица 5 — Значение скоростей фильтрации для нижней границы применимости закона Дарси

Вычислим значения скоростей фильтрации по уравнению Бингама-Шведова для нижней границы применимости закона фильтрации Дарси, построим графическую зависимость скорости фильтрации от градиента давления для Доброго и Авиловского месторождений.

Рис. 2 — Графическая зависимость скорости фильтрации от градиента давления для Доброго месторождения.

Рис. 3 — Графическая зависимость скорости фильтрации от градиента давления для и Авиловского месторождения.

В результате произведенных расчетов можно описать методику определения нижней границы применимости закона фильтрации Дарси:

Определим расчетным методом: предельное давление насыщения дегазированной нефти, Па; предельное давление насыщения нефти с учетом количества и состава растворенного газа, Па; предельное давление насыщения нефти при заданной температуре, Па; предельный градиент давления, МПа/м; градиент давления предельного разрушения структуры, МПа/м.

Вычислим значения скоростей фильтрации по уравнению Бингама-Шведова, для нижней границы применимости закона фильтрации Дарси.

Для наглядного представления построим зависимость скорости фильтрации от градиента давления.

Заключение

Определение нижней границы применимости закона Дарси актуально для средне и высоковязких нефтей, для нефтей как Доброго, так и Авиловского месторождений определение данной границы не актуально, так как получившийся интервал значений весьма мал.

Нефти Авиловского и Доброго месторождений являются линейной-вязкопластичной жидкостью, что наглядно продемонстрировано на рисунках 2 и 3.

Литература

Абдулвагабов А.И. О режимах движения жидкостей и газов в пористой среде // Известия вузов. – 1961. – № 2. – C. 8-13.

Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М.. Подземная гидромеханика — М.: Недра,1993. − 416 с.

Белолипецкий В.М., Бекежанова В.Б.. Некоторые вопросы теории фильтрации и гидродинамической устойчивости: Учебное пособие по практическим занятиям — Красноярск, 2007. — 55 с

Герасимов Д.С. Основные определения и понятия фильтрации жидкостей и газов среды и границы применяемости закона Дарси: методическое пособие -Тюмень : ТюмГНГУ, 2013. – 41с

Девликамов В.В., Хабибуллин З.А., Кабиров М.М. Аномальные нефти -Москва: Недра, 1975. — 168 с

Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений.-М:Недра, 1986 г. — 330 с.

Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов.- М, 2002 г — 140 с.

Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы.- Москва, 1964 г- 345 л.

Миллионщиков М. Д., Христианович С. А., Гальперин В. Г., Симонов Л. А .Прикладная газовая динамика: В 2-х частях. Часть 1. — М., 1948. — 146 с

Ольховская В. А. Подземная гидромеханика. Фильтрация неньютоновской нефти. — Москва: ОАО «ВНИИОЭНГ», 2011. — 221 с.

Павловский Н.Н. Курс гидравлики. Часть 1.- Кобуч 1933г. 180 с

References

Abdulvagabov A.I. O rezhimah dvizhenija zhidkostej i gazov v poristoj srede // Izvestija vuzov. – 1961. – № 2. – C. 8-13.

Basniev K.S., Kochina I.N., Maksimov V.M.. Podzemnaja gidromehanika — M.: Nedra,1993. − 416 s.

Belolipeckij V.M., Bekezhanova V.B.. Nekotorye voprosy teorii fil’tracii i gidrodinamicheskoj ustojchivosti: Uchebnoe posobie po prakticheskim zanjatijam — Krasnojarsk, 2007. — 55 s

Gerasimov D.S. Osnovnye opredelenija i ponjatija fil’tracii zhidkostej i gazov sredy i granicy primenjaemosti zakona Darsi: metodicheskoe posobie -Tjumen’ : TjumGNGU, 2013. – 41s

Devlikamov V.V., Habibullin Z.A., Kabirov M.M. Anomal’nye nefti -Moskva: Nedra, 1975. — 168 s

Zheltov Ju.P. Razrabotka neftjanyh mestorozhdenij.-M:Nedra, 1986 g. — 330 s.

Kanevskaja R.D. Matematicheskoe modelirovanie gidrodinamicheskih processov razrabotki mestorozhdenij uglevodorodov.- M, 2002 g — 140 s.

Kollinz R. Techenie zhidkostej cherez poristye materialy.- Moskva, 1964 g- 345 l.

Millionshhikov M. D., Hristianovich S. A., Gal’perin V. G., Simonov L. A .Prikladnaja gazovaja dinamika: V 2-h chastjah. Chast’ 1. — M., 1948. — 146 s

Ol’hovskaja V. A. Podzemnaja gidromehanika. Fil’tracija nen’jutonovskoj nefti. — Moskva: OAO «VNIIOJeNG», 2011. — 221 s.

Pavlovskij N.N. Kurs gidravliki. Chast’ 1.- Kobuch 1933g. 180 s

Как использовать градиентный фильтр для улучшения ваших фотографий

Инструмент градиентного фильтра обычно используется для затемнения или осветления верхней части фотографии — неба. По сути, он заменяет физический градуированный фильтр, который вы надеваете на объектив камеры. В Zoner Photo Studio X вы можете настроить параметры, предоставляя вам множество творческих возможностей.

Помимо градуированных фильтров, о которых вы можете прочитать в статье Градуированные фильтры, вы также можете использовать «виртуальный» фильтр. Это инструмент Zoner Photo Studio в версии 9.0005 Разработать модуль . Вы также можете использовать градиентный фильтр для неразрушающего редактирования и при редактировании изображений RAW.

Изменение настроек

Сначала выберите инструмент Gradient Filter (G). Если вы хотите отредактировать небо в верхней части фотографии, вы можете сделать это, щелкнув и перетащив вверх. В зависимости от размера фильтра градиент будет более или менее плавным. Вы можете точно настроить этот переход, используя настройку Широкий градиент .

СОВЕТ : Иногда может понадобиться использовать функцию Инвертировать маску , которая перевернет весь фильтр. Вы найдете эту опцию на правой панели с опциями для отдельных масок.

Выберите градиентный фильтр (G) и отредактируйте только часть фотографии.

Градиентный фильтр имеет множество настроек, которые вы можете настроить. Это означает, что вы можете не только осветлять или затемнять часть фотографии, но также можете добавлять контраст, повышать резкость, настраивать светлые или темные тона или работать с локальной цветокоррекцией и кривыми. У вас также есть возможность установить оттенки для определенного цвета.

Локальная коррекция цвета

Градиентный фильтр также позволяет локально работать с цветами. Используйте локальные кривые Цветовая коррекция и Тональные для настройки контраста в дополнение к цвету. Эта коррекция сослужит вам хорошую службу при редактировании пейзажных фотографий и изменении цветов неба.

С помощью кривых RGB или Luma можно точно настроить локальный контраст и кривые для отдельных цветовых каналов , внесение основных изменений в цвет. Если вас интересует тонирование с помощью кривых, мы написали статью о том, как тонировать цвета с помощью кривых.

Вы можете локально редактировать контраст и цвет с помощью тоновых кривых.

Если вы хотите еще больше отредактировать свои цвета, используйте Color Shift. С помощью Color Shift вы можете изменить оттенок, насыщенность и яркость любого цвета, выбранного на фотографии. На этой конкретной фотографии цвет неба мне показался неправильным, поэтому с помощью пипетки я выделил его и придал более темные, сине-фиолетовые оттенки.

Отрегулируйте цветовые оттенки, используя локальную коррекцию цвета.

Создаем правильную атмосферу для вечерних облаков

Вечернее небо часто окрашивается в интересные оттенки. Вы можете передать это ощущение с помощью градиентного фильтра и сделать цвета более яркими с помощью насыщенности и контрастности.

Раскрашивание неба.

Выделение звезд

Четкость и Резкость Настройки помогут вам выделить звездное небо. Эти настройки доступны в Zoner Photo Studio X отдельно от Градиентного фильтра. Однако, если вам нужно выделить только часть фотографии, например, только звезды, лучше всего подойдет Градиентный фильтр.

Подсветка звезд.

Улучшение фотографий с рамкой солнце/тень

В летнее время часть снимка часто попадает под прямые солнечные лучи, а остальная часть находится в тени. Это создает впечатление, что одна часть изображения переэкспонирована, а другая недоэкспонирована. Если есть сплошная линия, разделяющая две части, вы можете использовать градиентный фильтр.

Затемнение более светлой верхней части фотографии.

Использование нескольких фильтров одновременно

На этой фотографии нам нужно немного затемнить небо. Нажав Добавить маску , можно применить сразу несколько фильтров. Второй фильтр затемнит только небольшую верхнюю часть неба. Вы можете проверить список всех фильтров, используемых в таблице выше.

Два градиентных фильтра на одной фотографии.

Подкрашивание только части фотографии

Другой вариант использования градиентного фильтра – использование карты градиента для окрашивания части фотографии. Все зависит от ваших творческих предпочтений. Используйте настройку Color , которую вы найдете в нижней части настройки Gradient Filter. Например, вы получите захватывающие винтажные цвета, используя оттенки фиолетового в Режим исключения . Для этого эффекта вам будет полезно прочитать нашу статью о режимах наложения.

Сплит тонировка.

Практичный инструмент, который сэкономит ваше время

Лично я предпочитаю использовать Градиентный фильтр на своем компьютере, потому что часто нет времени установить что-то на камеру во время съемки. Если вы снимаете в формате RAW, вы получите максимальное количество данных, необходимых для работы с изображением.

Загрузите Zoner Photo Studio X и попробуйте локальное редактирование с градиентным фильтром уже сегодня.

[CV] 3. Градиентный и лапласовский фильтр, разность гауссианов (DOG) | от jun94 | jun-devpBlog

Ранее мы рассмотрели фильтры, используемые для сглаживания или удаления шума на изображениях. В этой главе будут объяснены фильтры, которые должны извлекать информацию о границах изображений.

Прежде чем мы начнем, обратите внимание, что фильтры можно рассматривать как шаблоны . Это означает, что применение фильтра в какой-то момент можно рассматривать как скалярное произведение между одномерным представлением области изображения и одномерным векторным представлением фильтра. Таким образом, отклик фильтра максимален, когда область, в которой применен фильтр, выглядит так же, как и фильтр. Другими словами, фильтры выглядят как эффекты (или особенности изображения), для обнаружения которых они предназначены. 1.1 Градиент изображения общий выбор, чтобы найти края. Тогда что делает градиент облегчающим обнаружение краев и почему он полезен?

На это можно ответить с помощью следующего примера на рис. 2. Левая панель — это данное изображение, а панель в центре — соответствующие интенсивности пикселей для пикселей на красной строке изображения. Как видно из двух панелей, края изображения — это места, где интенсивность пикселей сильно меняется, например, от белого к черному и от черного к белому.

Рисунок 2. График интенсивности пикселей и 1-й производной данного изображения из [1]

Учитывая определение краев, в рассмотрение вступает идея градиента, потому что области без краев возвращают нулевой градиент, в то время как другие области выводят некоторые положительные или отрицательные значения. Это показано на правой панели рис. 2. Карта 1-й производной показывает ненулевую реакцию только в пикселях, где лежат края. Таким образом, мы можем заключить, что, находя пиксели, являющиеся результатом максимумов 1-й производной, можно определить границы изображения.

1.2 Разработка фильтра для вычисления производных

Чтобы вычислить производную изображения, мы можем использовать концепцию свертки с фильтром (обратите внимание, что ее также можно вычислить путем корреляции). Вспомним, как вычисляется частная производная в функции 2D f , представляющей изображение. В непрерывной настройке частная производная от f по отношению к x определяется следующим образом:

Уравнение 1. Частная производная от f по x

Однако в компьютерном зрении мы имеем дело с изображениями, которые представляют собой дискретные данные. Таким образом, мы аппроксимируем его, используя конечные разности.

Уравнение 2. Дискретизированное уравнение 1.

Чтобы реализовать уравнение 2 в виде свертки, соответствующий фильтр будет

производная от f по отношению к y . На рис. 4 показан отклик фильтра после свертки по отношению к x (в центре) и y (правая панель).

Рисунок 4. Карты отклика фильтра (центральная и правая панель) после свертки с фильтрами x-gradient и y-gradient соответственно из [1], [2]

известно, что на практике мы используем градиентный фильтр 3 × 1 для x производная вместо градиентного фильтра 2 × 1 , а также производная y ( 1 × 3 фильтр). Позвольте мне объяснить, почему и как построить фильтр 3 × 1 (для производных по отношению к x ).

Несмотря на простоту фильтра: [1 -1], у него есть некоторые проблемы.

Во-первых, после свертки изображения с помощью этого фильтра он сдвигает изображение на полпикселя.
Во-вторых, что также связано с первой причиной, когда мы применяем [1 -1] к 2 пикселям (x, y) и (x+1, y) , фактически вычисляется градиент в позиции (x+0. 5, y) не в позиции (x, y) и (x+1, y) . Чтобы исправить это, мы вставляем 0 между [1 -1] , чтобы получить [1 0 -1] . Путем свертки нового фильтра [1 0 -1] с пикселями (x -1, y), (x, y) и (x+1, y) , он возвращает градиент относительно x для центрального пикселя (x, y) .

Короче говоря,

Фильтр производной x: [1 -1] -> [1 0 -1]
Фильтр производной y: [1 -1] ᵀ -> [1 0 -1] ᵀ

более подробное объяснение см. в [8]. Если мы напрямую вычисляем производные изображения, содержащего шум, то это дает неожиданный результат, когда мы не можем обнаружить никакой информации о расположении краев. Рис. 5 иллюстрирует это.
Рис. 5. Вычисленные производные зашумленного изображения из [1], [3]
Рассмотрим одну строку изображения (вспомним красную линию на рис. 2) и построим интенсивность f пикселей на ряд, как показано ниже. Поскольку из-за шума интенсивность каждого пикселя колеблется по сравнению с другими, при вычислении их производных мы получим только зигзагообразные узоры. Таким образом, чтобы правильно выделить местоположения краев, удаление шума должно предшествовать вычислению производных изображений.
И мы уже знаем, как исключить шум, Фильтрацию по Гауссу (Сглаживание).
Рис. 6. Правильный подход к поиску краев на зашумленном изображении с помощью фильтров Гаусса и производных, из [1], [3]
Сначала сверните изображение с помощью фильтра Гаусса с определенной сигмой (стандартным отклонением).
После этого мы получаем изображение, из которого до определенной степени удалены шумы.
Затем, вычислив производную изображения и взглянув на его пик, мы получим расположение краев.
1.4 Как сделать этот процесс эффективным? (Производная от Гаусса)
Пусть f и h будут изображением и фильтром соответственно. Одной из характеристик свертки является то, что производная свернутого изображения (h ⋆ f) эквивалентна свернутому изображению f с дифференцированным фильтром ∇ h .
Используя это, мы можем упростить шаги на рис. 6. На этот раз мы сначала вычисляем дифференцированный фильтр ∇ h и свернем его с изображением f.
Это дает тот же результат, что и на рис. 6.
Рис. 7. Упрощенный подход к поиску краев на изображении, из [1], [3]
Наконец, напомним, что мы можем представить вычисление производной в виде свертки с фильтр [1 -1] (или [1 0 -1] , как указано выше). Следовательно, производная члена фильтра ∇ h становится сверткой [1 -1] и фильтр Гаусса h, , как показано ниже.
И результат этой свертки (Производный фильтр ⋆ h ) называется Производной Гаусса.
Короче говоря, фильтр производной Гаусса содержит как сглаживание по Гауссу, так и вычисление производной. Следовательно, пока мы сворачиваем изображение с фильтром Производная Гаусса , нет необходимости отдельно выполнять сглаживание по Гауссу и вычисление производной, как показано на рис. 6.9.0003 Пример производной фильтра Гаусса по направлениям x и y
Фильтр Лапласа — это один из детекторов границ, используемый для вычисления вторых пространственных производных изображения. Он измеряет скорость изменения первых производных. Другими словами, фильтр Лапласа выделяет области, в которых интенсивность пикселей резко меняется. Из-за этой характеристики фильтра Лапласа его часто используют для обнаружения краев изображения. Позже мы увидим, как фильтр находит края с помощью визуальной иллюстрации.
Математическое определение лапласиана следующее.
Учитывая определение, дискретизированный 3 x 3 Фильтр Лапласа (поскольку мы имеем дело с изображениями, и они дискретны) для изображения f определяется как массив ниже:
Рисунок 8. Лапласиан 3 x 3 filter
Обратите внимание, что указанное выше ядро, которое не идентично математическому определению лапласиана из-за противоположных знаков, использует отрицательный пик, поскольку оно более распространено и прямолинейно. Тем не менее, он все еще действителен.
2.1. Обнаружение края
Давайте вернемся к причине, по которой мы используем фильтр Лапласа. Как упоминалось ранее, фильтр Лапласа является одним из распространенных методов обнаружения края, но как?
Рисунок 9. пример отсюда
Сначала мы вычисляем вторую производную для каждого пикселя. Наша цель — найти краевые местоположения (пиксели), и ранее мы находили их, глядя на максимумы первых производных. Вспомните, как мы нашли максимумы первых производных со второй производной. Ответ таков: края находятся между пикселями, вторые производные которых резко переходят от одного знака к другому (пересечение нуля). Два обнаруженных ребра среди всех ребер отмечены сине-зеленой рамкой на рис. 9..
2.2. Лапласиан Гаусса
Подобно 1.4 Производная Гаусса, применяется та же идея для упрощения обнаружения границ с помощью фильтра Лапласа. В то время как все остальные шаги остаются прежними, единственное отличие от Производная фильтра Гаусса заключается в том, что фильтр Лапласа заменяет фильтр производной, что означает, что ∇ h на рис. 6 становится ∇² h 9 0006 .
Рис. 10. Правильный подход к обнаружению краев на зашумленном изображении с помощью фильтров Гаусса и Лапласа, из [1], [3]
Поскольку лапласиан (∇²) также может быть представлен сверткой с фильтром Лапласа, мы свернем фильтр Лапласа с фильтром Гаусса, и, следовательно, мы получим фильтр Лапласиана Гаусса (LoG) . Подобно Производная Гаусса , LoG содержит сглаживание по Гауссу и вычисление второй производной, нет необходимости выполнять их отдельно, пока изображение свертывается с Логом .
Рис. 11. Иллюстрация построения фильтра LoG для облегчения понимания, из [1], [7]
Обратите внимание, что размер фильтра и значения на рис. 11 выбраны произвольно, поэтому вычисленный LoG не является точным. Рассмотрим это в качестве примера, чтобы просто увидеть общую картину того, как фильтр LoG структурирован с использованием свертки.
Различие гауссианов и результирующего изображения после свертки по ним показано ниже.
Рис. 12. Лапласиан ~ Отличие гауссиана, из [1]
Заметным наблюдением здесь является то, что вычитание одного гауссиана за другим аппроксимирует лапласиан гауссиана. Это указывает на то, что при аппроксимации LoG фактическое вычисление производной не требуется. Еще одна причина, по которой DoG полезен, заключается в том, что в задачах компьютерного зрения изображение часто фильтруется фильтрами Гаусса во многих масштабах. Сохраняя результаты гауссовской фильтрации изображения, мы можем легко использовать их для извлечения краев путем вычисления разницы между последующими выходными данными фильтрации без фактического вычисления производных изображений.